狭义相对论：时空的革命

时空观是现代物理学中非常重要的概念，本系列文章将讲解时间，空间，引力到底是什么。从牛顿力学到狭义相对论，再到广义相对论背后的原理，数学推导过程都详细介绍！

目标读者：高中物理毕业，对数学有基本兴趣。文中涉及的所有数学工具均会从头介绍。

可以先观看下面介绍视频

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第一章　经典力学的世界观

1.1 牛顿三大定律回顾

在爱因斯坦之前，物理学家的世界是牛顿的世界。这个世界由三条定律统治了超过两百年：

• 第一定律（惯性定律）：如果没有外力作用，物体保持静止或匀速直线运动。
• 第二定律：物体所受合力等于质量乘以加速度， $F=ma$。
• 第三定律：两物体间的作用力与反作用力大小相等、方向相反。

牛顿的体系极其成功。用它可以计算炮弹的轨迹、预测行星的运动，甚至发现海王星——仅凭天王星轨道的微小偏差，勒维耶在纸上就算出了一颗从未被人类看见的行星的位置。

1.2 惯性参考系

物理定律需要在某个"舞台"上描述，这个舞台叫做参考系。

惯性参考系是指牛顿第一定律成立的参考系——即一个没有加速度的参考系。比如：

• 站台上静止的观察者构成一个惯性系。
• 匀速行驶的火车上的乘客也构成一个惯性系。
• 做急转弯的过山车则不是惯性系（你会被甩向一侧，感受到"离心力"）。

1.3 伽利略变换

假设有两个惯性系 $S$和 $S^{\prime }$。 $S^{\prime }$相对 $S$以速度 $v$沿 $x$轴正方向匀速运动，且在 $t=0$时刻两者原点重合。

一个事件（某地某时发生的事）在 $S$系中坐标为 $(x,y,z,t)$，在 $S^{\prime }$系中坐标为 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime })$。

伽利略变换告诉我们：

$$x^{\prime }=x-vt$$$$y^{\prime }=y$$$$z^{\prime }=z$$$$t^{\prime }=t$$

这里最关键的是最后一行：时间是绝对的。在牛顿的宇宙里，有一个宇宙时钟，无论你在哪里、速度多快，所有人的时钟走得完全一样。

速度的变换同样简单。如果一个物体在 $S$系中速度为 $u$，则在 $S^{\prime }$系中速度为：

$$u^{\prime }=u-v$$

这就是经典速度叠加。你在以 $60\text{km/h}$行驶的火车上向前走，地面上的人看你以 $60+5=65\text{km/h}$运动。

1.4 伽利略变换的数学形式

用矩阵表示更简洁。令四维坐标向量 $X^{\mu }=(x,y,z,t)$，伽利略变换可写为：

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ t^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -v\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ t\end{array}\right)$$

1.5 经典力学的成功与局限

到19世纪末，牛顿力学取得了辉煌的成就：

• 开普勒三大定律可从牛顿引力定律推导出来。
• 潮汐、彗星轨道、卫星运动全都精确描述。
• 工程实践（蒸汽机、桥梁、炮兵）高度依赖它。

但裂缝出现了——来自一个意想不到的方向：光。

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第二章　光速的困惑：以太与实验危机

2.1 麦克斯韦方程组与光速

1865年，麦克斯韦将电学和磁学统一为电磁学，得到了四个方程（这里用向量微分形式，不需要完全看懂，感受一下它的对称美）：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0$$$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$

从这四个方程可以推导出电磁波方程，而电磁波的速度是：

$$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}\approx 3\times {10}^8\text{m/s}$$

这个值恰好等于光速！麦克斯韦因此断定：光是一种电磁波。

但问题来了：这个速度是相对什么的？声音的速度是相对于介质（空气）的。光的介质是什么？

2.2 以太假说

19世纪的物理学家们假设：宇宙间充满了一种静止的弹性介质，叫做以太（Ether）。光就像声音在空气中传播一样，在以太中传播。

以太被赋予了许多奇怪的性质：

• 它充满整个宇宙，甚至穿透所有物质。
• 它必须非常"硬"（因为光速极高），但又对物体运动毫无阻力。
• 地球在绕太阳公转时，必然在以太"海"中穿行，产生"以太风"。

如果以太假说正确，那么地球相对以太运动时，在不同方向上测量的光速应该不同——就像顺风跑比逆风跑快。

2.3 迈克尔逊-莫雷实验

1887年，迈克尔逊和莫雷设计了一个精妙的实验来测量地球的"以太风"速度。

实验装置：干涉仪。一束光被分光镜分成两束，分别沿互相垂直的两臂传播后反射回来，再次合并产生干涉条纹。

实验原理：如果存在以太风（设速度为 $v$），两臂方向不同，光在两臂中来回所用时间应该有差异。

设两臂等长均为 $L$，光速为 $c$，以太风速度为 $v$。

• 平行于以太风方向（来回）：去程速度 $c-v$，回程速度 $c+v$，总时间：

$$t_{\parallel }=\frac{L}{c-v}+\frac{L}{c+v}=\frac{2Lc}{c^2-v^2}=\frac{2L}{c}\cdot \frac{1}{1-v^2/c^2}$$

• 垂直于以太风方向（来回）：光需要斜着走，有效速度为 $\sqrt{c^2-v^2}$，总时间：

$$t_{\perp }=\frac{2L}{\sqrt{c^2-v^2}}=\frac{2L}{c}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

两臂时间差：

$$\mathrm{\Delta }t=t_{\parallel }-t_{\perp }=\frac{2L}{c}(\frac{1}{1-{\beta }^2}-\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}})$$

其中 $\beta =v/c$。这个时间差会导致干涉条纹移动，是完全可以测量的。

实验结果：干涉条纹几乎没有移动。无论地球朝哪个方向运动，光速似乎都是一样的！

这个"零结果"在当时是物理学史上最令人困惑的实验结果之一。

2.4 洛伦兹的修补尝试

洛伦兹（Lorentz）提出了一个巧妙但有些临时凑合的解释：也许物体沿运动方向会发生长度收缩——运动物体的长度变为静止时的 $\sqrt{1-v^2/c^2}$倍。这样恰好可以抵消两臂的时间差。

但这个解释是"打补丁"式的，没有物理上的深层原因。爱因斯坦的做法截然不同——他从根本上改变了假设。

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第三章　爱因斯坦的两个公设

1905年，26岁的爱因斯坦在瑞士专利局工作期间，发表了改变物理学的论文《论运动物体的电动力学》。他没有解释迈克尔逊-莫雷实验——他根本没有提到这个实验。他从两个更根本的假设出发。

3.1 第一公设：相对性原理

物理定律在所有惯性参考系中具有相同的形式。

这不是新想法，伽利略就提出过力学的相对性原理。爱因斯坦将其推广到一切物理定律，包括电磁学。

这意味着：你在密封的匀速飞船里，做任何物理实验（力学的、电学的、光学的），都无法判断飞船是否在运动。

3.2 第二公设：光速不变原理

在所有惯性参考系中，真空中的光速 $c$都相同，与光源的运动状态无关。

这是与经典直觉最冲突的地方。如果你以 $0.9c$的速度追着一束光跑，按经典速度叠加，光相对你的速度应该是 $0.1c$。但爱因斯坦说：不对，光相对你的速度仍然是 $c$。

3.3 绝对时空观的瓦解

如果这两个假设都正确，那么绝对时间就必须放弃。

设想：一列火车以速度 $v$行驶，车厢中央有一盏灯闪烁。灯光同时向车头和车尾传播。

• 站在地面的人看：光速不变，但车头在远离光，车尾在迎接光，所以光先到达车尾，后到达车头。
• 坐在火车上的人看：根据相对性原理，物理定律相同，他看到光同时到达两端。

同一对事件，一个人说"同时发生"，另一个人说"不同时发生"。 时间不再是绝对的。

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第四章　洛伦兹变换的完整推导

4.1 推导前的数学准备

我们要找满足以下条件的变换：

1. 线性变换（匀速直线运动必须变为匀速直线运动）。
2. 当 $v\ll c$时退化为伽利略变换。
3. 光速不变：如果某事件是光信号，在 $S$系中满足 $x=ct$，则在 $S^{\prime }$系中也满足 $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$。

设 $S^{\prime }$相对 $S$沿 $x$轴以速度 $v$运动，只考虑 $x$和 $t$的变换（ $y,z$不变）：

$$x^{\prime }=\gamma (x-vt)$$$$t^{\prime }=\gamma (t-\frac{vx}{c^2})$$

其中 $\gamma$是待定系数。

4.2 从光速不变推导 γ

设在 $t=0$时，从原点发出一道光信号。在 $S$系中：

$$x=ct⟹x^2=c^2{t}^2$$

在 $S^{\prime }$系中也必须有：

$$x^{\prime 2}=c^2{t}^{\prime 2}$$

代入变换式：

$$[\gamma (x-vt){]}^2=c^2{\left[\gamma (t-\frac{vx}{c^2})\right]}^2$$$${\gamma }^2(x-vt{)}^2=c^2{\gamma }^2{(t-\frac{vx}{c^2})}^2$$

展开左边： ${\gamma }^2(x^2-2xvt+v^2{t}^2)$

展开右边： $c^2{\gamma }^2(t^2-\frac{2vxt}{c^2}+\frac{v^2{x}^2}{c^4})={\gamma }^2(c^2{t}^2-2vxt+\frac{v^2{x}^2}{c^2})$

由于 $x^2=c^2{t}^2$，代入左边：

$${\gamma }^2(c^2{t}^2-2cvt\cdot t+v^2{t}^2)$$

这需要等于右边，利用 $x=ct$：

$${\gamma }^2{c}^2{t}^2{(1-\frac{v}{c})}^2={\gamma }^2{c}^2{t}^2{(1-\frac{v}{c})}^2$$

两边相等，这验证了形式的自洽。现在用另一个约束来确定 $\gamma$。

更简洁的推导方式：要求时空间隔不变（下文会解释其意义）：

$$c^2{t}^2-x^2=c^2{t}^{\prime 2}-x^{\prime 2}$$

代入变换式展开：

$$c^2{t}^2-x^2=c^2{\gamma }^2{(t-\frac{vx}{c^2})}^2-{\gamma }^2(x-vt{)}^2$$$$={\gamma }^2[c^2(t^2-\frac{2vxt}{c^2}+\frac{v^2{x}^2}{c^4})-(x^2-2vxt+v^2{t}^2)]$$$$={\gamma }^2[c^2{t}^2-2vxt+\frac{v^2{x}^2}{c^2}-x^2+2vxt-v^2{t}^2]$$$$={\gamma }^2[(c^2-v^2)t^2-(1-\frac{v^2}{c^2})x^2]$$$$={\gamma }^2(1-\frac{v^2}{c^2})(c^2{t}^2-x^2)$$

要使等式成立，需要：

$${\gamma }^2(1-\frac{v^2}{c^2})=1$$$$\boxed{{\displaystyle \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}}$$

这就是著名的洛伦兹因子。

4.3 洛伦兹变换完整形式

$$\boxed{{\displaystyle x^{\prime }=\gamma (x-vt),y^{\prime }=y,z^{\prime }=z,t^{\prime }=\gamma (t-\frac{vx}{c^2})}}$$

逆变换（将 $v$换成 $-v$）：

$$x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime }),t=\gamma (t^{\prime }+\frac{v{x}^{\prime }}{c^2})$$

4.4 矩阵形式

用 $ct$代替 $t$（使各维度量纲一致），洛伦兹变换可写成矩阵形式：

$$\left(\begin{array}{c}c{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\gamma & -\gamma \beta \\ -\gamma \beta & \gamma \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ct\\ x\end{array}\right)$$

其中 $\beta =v/c$。

4.5 洛伦兹因子 γ 的性质

$v/c$	$\gamma$
0	1
0.1	1.005
0.5	1.155
0.9	2.294
0.99	7.089
0.999	22.37
1	$\mathrm{\infty }$

当 $v<c$时， $\gamma \ge 1$，且随 $v\to c$趋向无穷大。这暗示着光速是物质运动的上限。

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第五章　时间膨胀

5.1 思想实验：光钟

设计一个时钟：两块平行镜子之间，一束光在上下反射，每来回一次计为一个"滴答"。设两镜距离为 $L_0$。

静止的光钟：光走一个来回的时间：

$$\mathrm{\Delta }{t}_0=\frac{2L_0}{c}$$

这是时钟的固有周期。

运动的光钟：设光钟相对我以速度 $v$水平运动，光在我看来走的是斜线（锯齿形路径）。

设光从下镜到上镜时，钟水平移动了距离 $d=v\cdot \frac{\mathrm{\Delta }t}{2}$，光路长度为：

$$\sqrt{L_0^2+d^2}=\sqrt{L_0^2+{\left(\frac{v\mathrm{\Delta }t}{2}\right)}^2}$$

由于光速不变，传播时间为：

$$\frac{\mathrm{\Delta }t}{2}=\frac{\sqrt{L_0^2+(v\mathrm{\Delta }t/2{)}^2}}{c}$$

解出 $\mathrm{\Delta }t$：

$$\frac{c^2\mathrm{\Delta }{t}^2}{4}=L_0^2+\frac{v^2\mathrm{\Delta }{t}^2}{4}$$$$\frac{(c^2-v^2)\mathrm{\Delta }{t}^2}{4}=L_0^2$$$$\mathrm{\Delta }t=\frac{2L_0}{c}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\gamma \mathrm{\Delta }{t}_0$$

5.2 时间膨胀公式

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }{t}_0}}$$

运动的时钟走得更慢！ 由于 $\gamma \ge 1$，运动时钟的周期 $\mathrm{\Delta }t\ge \mathrm{\Delta }{t}_0$，即运动时钟相比静止时钟走得慢。

$\mathrm{\Delta }{t}_0$称为固有时（proper time），即与事件一起运动的观测者所测到的时间间隔，是所有参考系中最短的时间间隔。

5.3 双生子悖论

这是相对论中最著名的"悖论"。

问题：A和B是双胞胎。B坐飞船以接近光速飞向远方星球再返回。由于相对论，A看B的时钟走慢了，所以B回来时比A年轻。但B是否也可以说A在运动，A的时钟走慢，所以A比B年轻？

解答：这并非真正的悖论，关键在于对称性被打破。

A在惯性系中一直保持不动。B必须经历加速和减速（出发加速、到达减速、返程再加速减速）。加速的过程打破了两人的对等性——B所在的参考系不是惯性系，而是经历了加速度的非惯性系。

更精确的处理用四维时空间隔（固有时）来计算：走直线（惯性运动）的A经历的固有时总是多于走折线（变换方向）的B。这类似于欧氏几何中"两点之间直线最短"——在闵可夫斯基时空中，“两事件之间惯性路径固有时最长”。

结论：B回来时确实比A年轻。

5.4 实验验证：μ 子寿命

宇宙射线打入大气层时，在约 $15\text{km}$高度产生μ 子（muon），以约 $0.998c$的速度向地面飞来。

μ 子的静止寿命约 ${\tau }_0=2.2\mu \text{s}$，即使以光速飞行，在 $2.2\mu \text{s}$内最多飞：

$$d=c\cdot {\tau }_0=3\times {10}^8\times 2.2\times {10}^{-6}\approx 660\text{m}$$

远远不够 $15\text{km}$。按经典力学，μ 子根本到不了地面。

但实验表明，大量 μ 子确实到达地面。为什么？

以 $v=0.998c$计算：

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{0.998}^2}}\approx 15.8$$

在地面观测者看来，μ 子的寿命被膨胀为：

$$\mathrm{\Delta }t=\gamma {\tau }_0\approx 15.8\times 2.2\mu \text{s}\approx 34.8\mu \text{s}$$

在这段时间内，μ 子能飞行约 $10\text{km}$，可以到达地面。

这是时间膨胀的直接实验证据。

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第六章　长度收缩

6.1 同一事件，不同距离

一根杆子静止时长度为 $L_0$（固有长度）。当它以速度 $v$相对我运动时，我如何测量它的长度？

关键：测量一根运动物体的长度，必须同时（在我的参考系中）记录它的两个端点位置。

6.2 长度收缩公式推导

设杆子在 $S^{\prime }$系中静止，两端坐标为 $x_1^{\prime }=0$， $x_2^{\prime }=L_0$。 $S^{\prime }$相对 $S$以速度 $v$运动。

在 $S$系中同时（ $t$相同）测量两端位置。用洛伦兹逆变换：

$$x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$$

对两端，在 $S$系中同一时刻 $t$测量：

$$x_1=\gamma (x_1^{\prime }+v{t}_1^{\prime }),x_2=\gamma (x_2^{\prime }+v{t}_2^{\prime })$$

"同时"意味着在 $S$系中 $t_1=t_2=t$。用正变换：

$$t_1^{\prime }=\gamma (t-\frac{v{x}_1}{c^2}),t_2^{\prime }=\gamma (t-\frac{v{x}_2}{c^2})$$

设 $S$系中测得杆长 $L=x_2-x_1$。用正变换：

$$x_2^{\prime }-x_1^{\prime }=\gamma (x_2-x_1)-\gamma v(t_2-t_1)$$

由于同时 $t_1=t_2$：

$$L_0=\gamma L$$$$\boxed{{\displaystyle L=\frac{L_0}{\gamma }=L_0\sqrt{1-v^2/c^2}}}$$

运动方向上的长度缩短了！ 垂直运动方向的长度不变。

6.3 为何只有运动方向收缩

物理上，时空间隔不变是原因。数学上，洛伦兹变换只混合 $x$和 $t$，不影响 $y$, $z$。直觉上可以想象：时间膨胀和长度收缩是同一枚硬币的两面——μ 子在自己看来寿命正常，但它看到地球以 $0.998c$冲向它，15 km 的距离被压缩成了约 $15/15.8\approx 0.95\text{km}$，所以才能在寿命内到达。

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第七章　同时性的相对性

7.1 何谓"同时"

"同时"听起来简单，但其实需要约定。怎样判断两个地点的两件事是否同时？

爱因斯坦的定义：在两地各放一面镜子，从中点发出光，光同时到达两端反射后，光同时回到中点——此时中点接收到两个信号。若这两次反射"同时"发生，则称这两个事件在这个参考系中同时发生。

7.2 思想实验：火车与闪电

设一列火车以速度 $v$向右运动。地面观测者 A 站在铁轨中点。恰好有两道闪电分别击中火车前后两端（同时击中铁轨上的两点），A 看到两道闪光同时到达眼前。

火车中点的观测者 B 此时恰好也在 A 旁边，但之后他们分开，B 随火车运动。

A 的分析：两道闪光从等距离的地方出发，同时到达我眼中，所以两道闪电同时发生。

B 的分析：按照光速不变原理，B 也用光速计算。但在闪电发生后，B 随火车向右运动，他朝着前方闪光运动，远离后方闪光。因此前方的光先到达 B，后方的光后到达 B。B 会说：前方闪电先发生，后方闪电后发生，两者不同时。

7.3 同时性相对性的数学分析

从洛伦兹变换直接可以看出：

$$t^{\prime }=\gamma (t-\frac{vx}{c^2})$$

两个事件 $(x_1,t_1)$和 $(x_2,t_2)$在 $S$系中同时（ $t_1=t_2$），在 $S^{\prime }$系中的时间差为：

$$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=t_2^{\prime }-t_1^{\prime }=\gamma (-\frac{v(x_2-x_1)}{c^2})=-\frac{\gamma v\mathrm{\Delta }x}{c^2}$$

只要 $\mathrm{\Delta }x\ne 0$（两事件不在同一地点）， $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }\ne 0$。

同地不同时 vs 不同地同时：

• 同一地点先后发生的两事件（ $\mathrm{\Delta }x=0$），所有惯性系都认为有时间顺序，且顺序相同。
• 不同地点同时发生的两事件，不同参考系对其时间顺序会有不同看法。

7.4 因果律的保护

同时性的相对性是否会破坏因果律（因先于果）？

答案是不会。如果事件 A 导致了事件 B（A是B的原因），那么必然有 $\mathrm{\Delta }t>\mathrm{\Delta }x/c$（信号以不超过光速传播），即两事件之间的时空间隔为类时（见第十章）。可以证明，对于类时间隔，所有惯性系都同意时间顺序，因果关系得到保护。

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第八章　相对论速度叠加

8.1 推导速度叠加公式

设物体在 $S^{\prime }$系中以速度 $u^{\prime }$沿 $x^{\prime }$轴运动， $S^{\prime }$相对 $S$以速度 $v$运动。求物体在 $S$系中的速度 $u$。

对洛伦兹变换取微分：

$$dx=\gamma (d{x}^{\prime }+vd{t}^{\prime })$$$$dt=\gamma (d{t}^{\prime }+\frac{vd{x}^{\prime }}{c^2})$$$$u=\frac{dx}{dt}=\frac{\gamma (d{x}^{\prime }+vd{t}^{\prime })}{\gamma (d{t}^{\prime }+\frac{vd{x}^{\prime }}{c^2})}=\frac{d{x}^{\prime }/d{t}^{\prime }+v}{1+\frac{v}{c^2}\cdot \frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}}$$$$\boxed{{\displaystyle u=\frac{u^{\prime }+v}{1+\frac{u^{\prime }v}{c^2}}}}$$

8.2 光速上限的自洽性

如果 $u^{\prime }=c$（光速），则：

$$u=\frac{c+v}{1+\frac{cv}{c^2}}=\frac{c+v}{1+v/c}=\frac{c(1+v/c)}{1+v/c}=c$$

无论 $v$多大，光速叠加后仍为 $c$。

如果 $u^{\prime }<c$且 $v<c$，则 $u<c$（可以严格证明）。

经典极限：当 $u^{\prime }\ll c$且 $v\ll c$时， $u^{\prime }v/c^2\approx 0$，退化为伽利略速度叠加 $u\approx u^{\prime }+v$。

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第九章　相对论动力学

9.1 相对论动量

如果保持动量守恒定律，就必须修正动量的定义。

相对论动量：

$$\mathbf{p}=\gamma m\mathbf{v}=\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

其中 $m$是静止质量（rest mass）。

当 $v\ll c$时， $\gamma \approx 1$，退化为牛顿动量 $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$。

9.2 相对论能量的推导

根据功能定理，对相对论动量做积分：

$$E={\int }_0^{v}Fdx={\int }_0^v\frac{d(\gamma mv)}{dt}dx$$

经过较复杂的积分计算（利用 $d(\gamma mv)/dt$展开），最终得到：

$$\boxed{{\displaystyle E=\gamma m{c}^2=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}}$$

静止能量：当 $v=0$时， $\gamma =1$，

$$E_0=m{c}^2$$

这是最著名的物理公式。静止的物体也具有能量！

动能：

$$E_k=E-E_0=(\gamma -1)m{c}^2$$

低速近似（展开 $\gamma$）：

$$\gamma \approx 1+\frac{v^2}{2c^2}+\cdots$$$$E_k\approx \frac{1}{2}m{v}^2$$

退化为经典动能。

9.3 能量-动量关系

能量和动量满足一个极为简洁的关系：

$$E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$$

对于光子（ $m=0$）： $E=pc$，即光子的能量完全由动量决定。

9.4 质能方程的物理意义

$E=m{c}^2$说明质量和能量可以相互转化，质量是能量的一种极为密集的储存形式。

$1\text{kg}$物质完全转化为能量：

$$E=1\times (3\times {10}^8{)}^2=9\times {10}^{16}\text{J}$$

相当于约 $2100$万吨 TNT 当量。原子弹的威力只转化了极小比例的质量（铀-235 裂变约转化 $0.1\mathrm{\%}$的质量）。

实验验证：

• 正电子湮灭：一个电子和一个正电子相遇，完全转化为两个光子，释放能量恰好等于 $2m_e{c}^2$。
• 核裂变/聚变：产物的质量轻于反应物，质量亏损转化为能量。

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第十章　四维时空初步

10.1 闵可夫斯基时空

1908年，数学家闵可夫斯基（Minkowski）给狭义相对论提供了优雅的数学框架：将时间和空间合并为四维时空。

四维时空坐标： $(ct,x,y,z)$，也常写作 $x^{\mu }=(x^0,x^1,x^2,x^3)$，其中 $x^0=ct$。

10.2 时空间隔

在普通三维空间中，两点间距离的平方为：

$$\mathrm{\Delta }{s}^2=\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2+\mathrm{\Delta }{z}^2$$

这在旋转变换下不变。

在四维时空中，定义时空间隔：

$$\mathrm{\Delta }{s}^2=c^2\mathrm{\Delta }{t}^2-\mathrm{\Delta }{x}^2-\mathrm{\Delta }{y}^2-\mathrm{\Delta }{z}^2$$

可以验证，在洛伦兹变换下， $\mathrm{\Delta }{s}^2$保持不变！这是洛伦兹变换的几何意义——它是四维时空中保持时空间隔不变的"旋转"。

10.3 三类时空间隔

根据 $\mathrm{\Delta }{s}^2$的符号，分为三类：

$$\mathrm{\Delta }{s}^2=c^2\mathrm{\Delta }{t}^2-\mathrm{\Delta }{x}^2-\mathrm{\Delta }{y}^2-\mathrm{\Delta }{z}^2$$

类型	条件	物理意义
类时（timelike）	$\mathrm{\Delta }{s}^2>0$	两事件可用低于光速的信号连接，有因果关系
类光（lightlike）	$\mathrm{\Delta }{s}^2=0$	两事件可用光信号连接
类空（spacelike）	$\mathrm{\Delta }{s}^2<0$	两事件无法发生因果联系

10.4 光锥

以某一事件为原点，满足 $c^2{t}^2=x^2+y^2+z^2$的所有时空点构成光锥（二维空间下是两条45°直线，三维空间下是锥面）。

光锥将时空分为三个区域：

• 未来光锥内（ $t>0$，类时）：可以从原点出发到达的事件。
• 过去光锥内（ $t<0$，类时）：可以到达原点的事件。
• 光锥外（类空）：与原点没有因果联系的事件。

世界线是粒子在四维时空中的轨迹。有质量粒子的世界线总在光锥内（速度小于光速），光子的世界线在光锥面上。

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第十一章　总结与展望

11.1 狭义相对论的核心思想

狭义相对论的革命性在于改变了我们对时间和空间的基本认识：

• 时间和空间不是独立存在的绝对背景，而是相互交织成四维时空。
• 同时性、长度、时间间隔都是相对的，依赖于参考系。
• 光速 $c$是自然界的速度上限，也是连接时间与空间的基本常数。
• 质量和能量是同一实体的不同面貌， $E=m{c}^2$。

11.2 适用范围与局限

狭义相对论适用于所有惯性系，任何速度下都正确（经典力学是其低速近似）。

但它有局限：

• 只适用于惯性参考系，无法处理加速运动。
• 完全没有引力——把引力和相对论统一是爱因斯坦下一个十年的任务。

11.3 引向广义相对论的问题

一个关键问题：如果地球绕太阳运动，地球是在加速（向心加速），不是惯性系。引力如何与相对论和谐共存？

牛顿的引力是瞬间传播的超距作用，这与狭义相对论的"信息传播不超过光速"直接矛盾。

爱因斯坦花了整整十年（1905-1915），最终给出了答案——广义相对论：引力不是一种力，而是时空的弯曲。

这正是我们下一篇文章的主题。

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附录：常用公式速查

概念	公式
洛伦兹因子	$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}$
洛伦兹变换	$x^{\prime }=\gamma (x-vt)$， $t^{\prime }=\gamma (t-vx/c^2)$
时间膨胀	$\mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }{t}_0$
长度收缩	$L=L_0/\gamma$
速度叠加	$u={\displaystyle \frac{u^{\prime }+v}{1+u^{\prime }v/c^2}}$
相对论动量	$p=\gamma mv$
总能量	$E=\gamma m{c}^2$
静止能量	$E_0=m{c}^2$
能量动量关系	$E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$
时空间隔	$\mathrm{\Delta }{s}^2=c^2\mathrm{\Delta }{t}^2-\mathrm{\Delta }{\mathbf{x}}^2$

参考&致谢

• claude